Деление на корень: Деление корней. Деление подкоренных выражений. Примеры размножения делением корня

Содержание

Деление корней. Деление подкоренных выражений. Примеры размножения делением корня

А извлечь корень из квадрата? Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 — множителем. Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями.

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Перемножьте все члены между собой, включая множители перед корнями и подкоренные выражения. Всегда ищите делитель, из которого можно взять целый корень; это облегчит процесс. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Метод 1 из 3: Умножение корней без множителей

Перемножьте числа под корнем. Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5. В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам.

Метод 3 из 3: Перемножение двучленов с квадратными корнями

Формула столь же проста, как и умножение. У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования.

Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней!

Как делить корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет.

Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Мы же умеем корень из произведения извлекать. Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение.

По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней.

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! Это и есть последнее, третье свойство корней.

Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Если х

Главный практический совет по работе с квадратными корнями. Если под знаком корня — минус, дальше можно не решать. Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус — сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями.

Разберёмся теперь с корнем из квадрата. Или корень из степени. Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. А теперь попрактикуемся в корнях.

Деление квадратных корней приводит к упрощению дроби. Наличие квадратных корней немного усложняет процесс решения, но некоторые правила позволяют работать с дробями относительно легко. Главное помнить, что множители делятся на множители, а подкоренные выражения на подкоренные выражения. Также квадратный корень может стоять в знаменателе.

Шаги

Деление подкоренных выражений

Запишите дробь. Если выражение представлено не в виде дроби, перепишите его в таком виде. Так легче следовать процессу деления квадратных корней. Помните, что горизонтальная черта представляет собой знак деления.
- 144 ÷ 36 {\displaystyle {\sqrt {144}}\div {\sqrt {36}}} , перепишите его так: .
Используйте один знак корня. Если и в числителе, и в знаменателе дроби находятся квадратные корни, запишите их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы упростить процесс решения. Подкоренное выражение – это выражение (или просто число), которое находится под знаком корня.
- Например, дробь 144 36 {\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}} можно записать так: 144 36 {\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}} .
Разделите подкоренные выражение. Разделите одно число на другое (как обычно), а результат запишите под знаком корня.
- Например, 144 36 = 4 {\displaystyle {\frac {144}{36}}=4} , поэтому: 144 36 = 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}={\sqrt {4}}} .
Упростите подкоренное выражение (если нужно). Если подкоренное выражение или один из его множителей является полным квадратом, упростите такое выражение. Полный квадрат – это число, которое является квадратом некоторого целого числа. Например, 25 – это полный квадрат, потому что 5 × 5 = 25 {\displaystyle 5\times 5=25} .
- Например, 4 – это полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 {\displaystyle 2\times 2=4} . Таким образом:
  4 {\displaystyle {\sqrt {4}}}
  = 2 × 2 {\displaystyle ={\sqrt {2\times 2}}}
  = 2 {\displaystyle =2}
  Итак: 144 36 = 4 = 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}={\sqrt {4}}=2} .
Разложение подкоренного выражения на множители
1. Запишите дробь. Если выражение представлено не в виде дроби, перепишите его в таком виде. Так легче следовать процессу деления квадратных корней, особенно при разложении подкоренного выражения на множители. Помните, что горизонтальная черта представляет собой знак деления.
  - Например, если дано выражение 8 ÷ 36 {\displaystyle {\sqrt {8}}\div {\sqrt {36}}} , перепишите его так: 8 36 {\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}} .
2. Разложите на множители каждое подкоренное выражение. Число, стоящее под знаком корня, раскладывается на множители как любое целое число. Множители запишите под знаком корня.
  - Например:
    8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6 {\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {\sqrt {2\times 2\times 2}}{\sqrt {6\times 6}}}}
3. Упростите числитель и знаменатель дроби. Для этого из под знака корня вынесите множители, которые представляют собой полные квадраты. Полный квадрат – это число, которое является квадратом некоторого целого числа. Множитель подкоренного выражения превратится в множитель перед знаком корня.
4. Избавьтесь от корня в знаменателе (рационализируйте знаменатель). В математике не принято оставлять корень в знаменателе. Если в знаменателе дроби есть квадратный корень, избавьтесь от него. Для этого умножьте и числитель, и знаменатель на квадратный корень, от которого нужно избавиться.
  - Например, если дана дробь 6 2 3 {\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
    6 2 3 × 3 3 {\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\times {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}}
    = 6 2 × 3 3 × 3 {\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}}}}
    = 6 6 9 {\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {9}}}}
    = 6 6 3 {\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{3}}} .
5. Упростите полученное выражение (если нужно). Иногда в числителе и знаменателе дроби находятся числа, которые можно упростить (сократить). Упростите целые числа, стоящие в числителе и знаменателе, как упрощаете любую дробь.
  - Например, 2 6 {\displaystyle {\frac {2}{6}}} упрощается до 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} ; таким образом 2 2 6 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}} упрощается до 1 2 3 {\displaystyle {\frac {1{\sqrt {2}}}{3}}} = 2 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}} .
Деление квадратных корней с множителями
1. Упростите множители. Множитель – это число, которое стоит перед знаком корня. Чтобы упростить множители, разделите или сократите их (подкоренные выражения не трогайте).
  - Например, если дано выражение 4 32 6 16 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {32}}}{6{\sqrt {16}}}}} , сначала упростите 4 6 {\displaystyle {\frac {4}{6}}} . Числитель и знаменатель можно разделить на 2. Таким образом, множители можно сократить: 4 6 = 2 3 {\displaystyle {\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}} .
2. Упростите квадратные корни. Если числитель делится на знаменатель нацело, сделайте это; в противном случае упростите подкоренное выражение как любое другое выражение.
  - Например, 32 нацело делится на 16, поэтому: 32 16 = 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{16}}}={\sqrt {2}}}
3. Умножьте упрощенные множители на упрощенные корни. Помните, что лучше не оставлять корень в знаменателе, поэтому умножьте на этот корень и числитель, и знаменатель дроби.
  - Например, 2 3 × 2 = 2 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\sqrt {2}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}} .
4. Если нужно, избавьтесь от корня в знаменателе (рационализируйте знаменатель). В математике не принято оставлять корень в знаменателе. Поэтому умножьте и числитель, и знаменатель на квадратный корень, от которого нужно избавиться.
  - Например, если дана дробь 4 3 2 7 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}} , умножьте числитель и знаменатель на 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}} , чтобы избавиться от корня в знаменателе:
    4 3 7 × 7 7 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {7}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}}
    = 4 3 × 7 7 × 7 {\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {3}}\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}}
    = 4 21 49 {\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{\sqrt {49}}}}
    = 4 21 7 {\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{7}}}

Размножение растений методом деления корня является одним из самых удобных способов, ведь разовая операция позволяет получить сразу несколько взрослых и сильных растений, готовых к цветению или плодоношению. С другой стороны, подходит данный метод не для всех культур, да и при неправильном выполнении может быть губительным для всего растения.

Делением корня размножают кустарники и травянистые растения, обладающие развитой корневой системой с образованием почек. В эту категорию можно отнести лещину, сирень, являющуюся кустарником , орхидеи, хризантемы, дельфиниумы и пионы, а также многие другие цветы.

Основные этапы процедуры :

Аккуратно извлеките растение из почвы и отряхните жесткой кистью земляной ком.
Остатки грунта смойте водой комнатной температуры, погрузив корни в емкость с водой. Всю землю смывать не нужно, главное чтобы грунт не мешал делению.
Оцените сколько растений может получиться из данного куста, выбрав основные взрослые побеги и активные почки.
Выполните обрезку всех побегов растения на высоту десять сантиметров (необходимо для высоких травянистых растений и кустарников) . Это позволит растению использовать энергию на восстановление корневой системы, не расходуя ее на питание надземной части.
Если есть одеревесневшие побеги, например, при размножении розы , их срезают под самый корень.
Удаляются все поврежденные и пожелтевшие побеги и листья.
Сделайте уверенные разрезы, отделяя боковые части куста. Центральная часть растения не должна разделяться.
Обработайте срезы древесным углем, высадите новые растения в подготовленные емкости и выполните полив раствором стимулятора роста.

Что нужно знать при делении куста

Размножение данным способом нельзя выполнять во время цветения. Лучше всего разделить после окончания данного периода. Если это затруднительно, за два дня перед делением срезают все цветы и бутоны. Иначе, растение может погибнуть.

Комнатные цветы лучше разделять в марте по окончанию периода покоя, а кустарники, растущие в открытом грунте, — осенью до начала заморозков.

Во время деления корневая система должна быть хорошо видна и легко отделяемая от грунта. Чтобы при извлечении не повредить корни, за день до выполнения деления грунт хорошо увлажняют. Нельзя тянуть за надземную часть растения. Корни с земляным комом вынимают, постукивая по цветочному горшку. Если растение находится на клумбе, его аккуратно откапывают используя садовую лопатку и жесткую малярную кисть.

Для деления корня используют острый нож, чтобы минимально травмировать растения. Садовые ножницы лучше не использовать, поскольку они могут смять срезы корня. Нельзя ломать корни руками!

Не стоит разделять растение на слишком мелкие части — это может быть губительным для всего куста, поскольку приживаемость будет значительно ниже. На каждой части должен обязательно быть зрелый побег.

Сразу высаживать в открытый грунт разделенные растения не желательно, поскольку им необходим период восстановления и прямые лучи солнца, а также вредители и болезни будут для них опасны, а потому лучше выдержать пару недель новые саженцы в защищенном грунте. Последний должен быть стерильным и соответствовать условиям роста разделяемого растения.

Для чего применяется деление куста

Помимо увеличения количества экземпляров, метод деления корня применяется для комплексного омоложения растений, биологический возраст которых подходит к концу. Таким образом вы сможете обновлять многолетники без выращивания рассады.

Очень эффективен данный метод, если требуется сохранить декоративные особенности материнского растения, которые при использовании других методов размножения могут быть утрачены.

Примеры размножения делением корня:

Видео 1. Размножение орхидеи фаленопсис

Видео 3. Размножение смородины делением куста

Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. 6. Приближенное извлечение квадратных корней. Если D

Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа с точностью до 1, нужно извлекать, как обыкновенно, и отбросить получаемый в конце действия остаток. Для приближеннаго извлечения корня из дроби, нужно предварительно сделать знаменателя полным квадратом.

В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам.

Каталог заданий
Вопросы и ответы

Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей!

Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней!

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень.

Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится.

Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! Это и есть последнее, третье свойство корней.

Алгебра
14 баллов

Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Если х Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями. В отличие от более простых разделов математики, здесь правильный ответ частенько не вытекает автоматически из формул.

24 разделить на корней из 7+1

Все свойства корней связаны с умножением-делением. На сложение-вычитание корней — не существует специальных формул! Хотя одинаковые корни можно, конечно, складывать-вычитать. Но эти действия к специфическим свойствам корней не имеют никакого отношения.

Отлично. Корни — не ваша проблема. Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями. Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos2α. Следовательно, корней нет. При этом трехчлен 4y2-2y+5 при любом значении у будет принимать только положительные значения.

OFF: Число ПИ разделить на корень из 3, или математика для 1С-ника

Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b)2. Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ. Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет… Теперь в нашем арсенале уже две формулы.

Но именно эти действия вызывают массу проблем… С этим надо разобраться основательно. Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями… Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. Приведём нашу степень к квадрату.

А если степень нечётная? Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Здесь всё понятно и просто. Не работает эта формула для отрицательных значений.

Мы же умеем корень из произведения извлекать. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! А теперь попрактикуемся в корнях. Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например?

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:
\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]
Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.
Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:
\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу .

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:
\[\begin{align} & \sqrt{20}\cdot \sqrt{\frac{125}{4}}=\sqrt{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt{625}=5; \\ & \sqrt{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt{{{\left(\frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. {2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]
Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:
Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?
При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)
Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.
Умножение корней с разными показателями
Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt{23}$? Можно ли вообще это делать?
Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:
Правило умножения корней. {2}}}=\sqrt{5}. \\ \end{align}\]
Но тогда получается какая-то хрень:
\[\sqrt{-5}=\sqrt{5}\]
Этого не может быть, потому что $\sqrt{-5} \lt 0$, а $\sqrt{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:
Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.
В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)
Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.
Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:
Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.{2}}}=\sqrt{75}. \end{align}\]
Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?
Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры
Что такое квадратный корень
Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x² = a
x ≥ 0
a ≥ 0
Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.
Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.
Попробуем найти корень из √-16
Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.
Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).
Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.
Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.
Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.
Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x² = 16, x = 4 и x = -4.
Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением
Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:
x² = 16 не равно x = √16.
Это два нетождественных друг другу выражения.
x² = 16 — это квадратное уравнение.
x = √ 16 — арифметический квадратный корень.
Из выражения x² = 16 следует, что:
|x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.
Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.
В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.
Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

Пример решен неверно

Это квадратное уравнение.
Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.
Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.
Даны два выражения:

x² = 36

x = √36
Первое выражение — квадратное уравнение.
|x| = √36
x1 = +6
x2 = -6.
Второе выражение — арифметический квадратный корень.
√36 = 6
x = 6.
Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.
Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня
Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.
Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.
Примеры иррациональных чисел:
√2 = 1,414213…;
π = 3,141592…;
e = 2,718281…. .
Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.
Дано уравнение: x² = 2.
Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.
Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:
1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.
Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.
Решение следующее:
Строим график функции y = x².
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .
В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.
x² = 2.
x = √2
x = -√2.
Извлечение корней
Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.
Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:
1. Извлеките квадратный корень: √289
Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.
Влево — 1, вверх — 7.
Ответ: √289 = 17.
2. Извлеките квадратный корень: √3025
Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.
Ответ: √3025 = 55.
3. Извлеките квадратный корень: √7396
Ищем в таблице число 7396.
Влево — 8, вверх — 6.
Ответ: √7396 = 86.
4. Извлеките корень: √9025
Ищем в таблице число 9025.
Влево — 9, вверх — 5.
Ответ: √9025 = 95.
5. Извлеките корень √1600
Ищем в таблице число 1600.
Влево — 4, вверх — 0.
Ответ: √1600 = 40.
Извлечением корня называется нахождение его значение.
Свойства арифметического квадратного корня
У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.
Корень произведения равен произведению корней
Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем
Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.
Умножение арифметических корней
Для умножения арифметических корней используйте формулу:
Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.
Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:
Добрая напоминалочка
Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.

Деление арифметических корней
Для деления арифметических корней используйте формулу:
Примеры:

Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.
Возведение арифметических корней в степень
Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:
Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.
Внесение множителя под знак корня
Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.
А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.
Дано выражение: 7√9
Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.
Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.
√9= 3.
7√9 = 7*3 = 21
В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.
Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.
Вы помните, что (√a)² = a
Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.
7√9 = √7²* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.
Формула внесения множителя под знак корня:
Запоминаем:
Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня.
Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Вынесение множителя из-под знака корня
С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.
Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.
Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.
Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.
Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

√28
Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.
Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24
Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.

Упростите выражение:

Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
Выносим общий множитель за скобки:

Далее вычисляем все, что в скобках:

Сравнение квадратных корней
Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.
Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.
Если:
√a < √b, то a < b
√a = √b, то a = b
Давайте разберем на примере.
Сравните два выражения: √70 и 8√2
Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.
70 < 128.
Это значит, что √70 < 8√2.
Запоминаем
Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

Сравните два выражения: √50 и 9√5
Ответ: преобразовываем выражение 9√5.
9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405
50 < 405
Это значит, что √50 < 9√5.

Сравните два выражения: 6√5 и √18
Ответ: преобразовываем выражение 6√5.
6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180
180 > 18
Это значит, что 6√5 > √18.

Сравните два выражения: 7√12 и √20
Ответ: преобразовываем выражение 7√12.
7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588
588 >20
Это значит, что 7√12 > √20.
Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.
Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.
Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.
Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.
Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.
Извлечение квадратного корня из большого числа
Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.
Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

Определить «сотни», между которыми оно стоит.

Определить «десятки», между которыми оно стоит.

Определить последнюю цифру в этом числе.
Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.
Извлечем корень из √2116.
Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.
10²= 100
20²= 400
30²= 900
40²= 1600
50²= 2500
Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.
Это значит, что число 2116 находится между 40²и 50².
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.
Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16 ⇒ 6
5² = 25 ⇒ 5
6² = 36 ⇒ 6
7² = 49 ⇒ 9
8² = 64 ⇒ 4
9² = 81 ⇒ 1
Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.
Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.
Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.
Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.
Таким образом, у нас остаются два варианта: 44² и 46².
Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.
46 * 46 = 2116.
Ответ: √2116 = 46
Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.
Еще пример. Извлечем корень из числа √11664
Разложим число 11664 на множители:
11666 : 4 = 2916
2916 : 4 = 729
729 : 3 = 243
243 : 3 = 81
11664
4
2916
4
729
3
243
3
81
81
Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.
Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

Квадратный корень
Предварительные навыки
Основные сведения
Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.
Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см
S = 3² = 9 см²
Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.
Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.
Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.
Введём для работы с корнями новые обозначения.
Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня .
Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)
Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)
Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.
Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:
Значит квадрат площадью 9 см² имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.
Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9
Получается, что выражение  имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.
Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.
Например, извлечём квадратный корень из числа 4
Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4
Поэтому ответ к выражению вида записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.
Запишем ответ к выражению с плюсом и минусом:
Определения
Дадим определение квадратному корню.
Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a.
То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b²= a. Число b (оно же корень) обозначается через радикал  так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение
Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16
4² = 16
Корень 4 можно обозначить через радикал  так, что .
Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16
(−4)² = 16
Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.
Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b²= a.
В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.
В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение  полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».
Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.
Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.
Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.
Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:
Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:
1² = 1
и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:
Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 0²= 0.
Выражение вида  смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.
Если выражение вида  возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a
Например, выражение  равно 4
Это потому что выражение равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.
Еще примеры:
Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:
Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5
Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5
Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5
Не следует путать правило  с правилом . Правило  верно при любом a, тогда как правило верно в том случае, если выражение имеет смысл.
В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:
Примеры: √4, √9, √16.
Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.
Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.
49 < 64
Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,
√49 < √64
Отсюда:
7 < 8
Примеры извлечения квадратных корней
Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.
Пример 1. Извлечь квадратный корень √36
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6²= 36
√36 = 6
Пример 2. Извлечь квадратный корень √49
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7²= 49
√49 = 7
В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:
7 × 7 = 49
Но 7 × 7 это 7²
7²= 49
Отсюда, √49 = 7.
Пример 3. Извлечь квадратный корень √100
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 10² = 100
√100 = 10
Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.
Пример 3. Извлечь квадратный корень √256
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.
Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.
Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.
Пример 4. Найти значение выражения 2√16
В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2
Пример 7. Решить уравнение
В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.
Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.
Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .
Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.
Из определения мы знаем, что квадратный корень равен числу b, при котором выполняется равенство b²= a.
Применим равенство b²= a к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x
В выражении 4²= x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.
Пример 8. Решить уравнение
Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:
Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x
Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 64. Значит корень уравнения  равен 64
Пример 9. Решить уравнение
Воспользуемся определением квадратного корня:
Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x
В выражении 7² = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:
Корень уравнения  равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:
Пример 10. Найти значение выражения
В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.
Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2
Приближённое значение квадратного корня
Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.
Например, извлечь квадратный корень можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 8²= 64. То есть
А извлечь квадратный корень нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.
Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.
Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.
Найдём значение корня приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.
Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:
√1 = 1
Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2
√4 = 2
√1 меньше, чем √4
√1 < √4
А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:
√1 < √3 < √4
Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2
1 < √3 < 2
Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.
Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1
1,1² = 1,21
Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.
Проверим тогда дробь 1,8
1,8² = 3,24
Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.
Проверим тогда дробь 1,7
1,7² = 2,89
Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈
√3 ≈ 1,7
Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.
В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.
Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8
1,7 < √3 < 1,8
Проверим дробь 1,74
1,74² = 3,0276
Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.
Проверим тогда дробь 1,73
1,73² = 2,9929
Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.
Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:
√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)
√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)
√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).
Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:
√3 ≈ 1
Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.
В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.
Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком
Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.
В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.
С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.
Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:
√3 ≈ 1
Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.
Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2
√3 ≈ 2
Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:
√3 ≈ 2 (с избытком)
Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.
Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.
Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:
√5 ≈ 2,23
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1
√51 ≈ 7
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1
√51 ≈ 7,1
Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01
√51 ≈ 7,14
Границы, в пределах которых располагаются корни
Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].
Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 8²= 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49
Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 7²= 49
√49 = 7
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1
Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 1²= 1
√1 = 1
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100
Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 10²= 100
√100 = 10
Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].
Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:
√37 ≈ 6,08
Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.
Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:
1² = 1
2² = 4
3²= 9
4²= 16
5²= 25
6²= 36
7²= 49
8²= 64
9²= 81
10²= 100
И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:
Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.
Например, 6²= 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600
60²= 3600
А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:
600² = 360000
Тогда можно сделать следующий вывод:
Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.
Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3
Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3
Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000
Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:
Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000
Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:
Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500
Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:
Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.
Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:
И наоборот, если в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:
Пример 2. Увеличим в равенстве подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз
Пример 3. Уменьшим в равенстве подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз
Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.
Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.
Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:
Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:
Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.
В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.
Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, .
Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.
Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.
Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:
Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз
Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.
Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225
Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз
Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].
В этом случае применяется таблица квадратов:
Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576
Видим, что это число 24. Значит .
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.
Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.
Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.
В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.
Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:
20,8² = 432,64
Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7
20,7²= 428,49
Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.
Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.
Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900
3600 < 4225 < 4900
Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:
Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)
Корень 64 не годится. Проверим корень 65
Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225
Тождественные преобразования с квадратными корнями
Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.
Квадратный корень из произведения
Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа.
Например, выражение является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.
Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение в виде произведения корней . Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6
Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36
Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.
Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12
Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.
Итак, разлóжим число 144 на простые множители:
Получили следующее разложение:
В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.
Тогда четыре двойки можно заменить на запись 2²× 2², а две тройки заменить на 3²
В результате будем иметь следующее разложение:
Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144
Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:
Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.
Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12
Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.
Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:
затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:
Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:
С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.
Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.
Итак, разложим число 13456 на простые множители:
В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 2². А два числа 29 предстáвим как 29². В результате полýчим следующее разложение числа 13456
Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456
Итак, если a ≥ 0 и b ≥ 0, то . То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.
Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b²= a.
В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.
Итак, выпишем правую часть равенства и возведём ее во вторую степень:
Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:
Ранее было сказано, что если выражение вида возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня
Значит равенство справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.
Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:
, при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0.
Пример 1. Найти значение квадратного корня
Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:
Пример 2. Найти значение квадратного корня
Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:
Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100
Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:
Пример 3. Найти значение квадратного корня
Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 11⁴ предстáвим как (11²)².
Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:
В нашем случае квадратный корень из числа (11²)² будет равен 11². Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:
Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:
Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 11⁴ нужно записать в виде произведения 11²× 11². Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:
Пример 4. Найти значение квадратного корня
Перепишем степень 3⁴ в виде (3²)², а степень 5⁶ в виде (5³)²
Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:
Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:
Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:
Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения
Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:
Пример 6. Найти значение квадратного корня
Пример 7. Найти значение квадратного корня
Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.
Например, произведение 8 × 4 равно 32
8 × 4 = 32
Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.
(8 × 2) × (4 : 2) = 32
Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.
Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.
Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.
Запишем полное решение данного примера:
Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:
Пример 9. Найти значение квадратного корня
Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:
Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.
Например, узнáем чему равно значение выражения .
Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40
Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:
А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20
Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.
Например, найдём значение выражения .
Воспользуемся правилом
Сомножитель 32 это 2⁵. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 2⁴
Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 2⁴ предстáвим в виде степени с показателем 2
Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:
Пример 12. Найти значение выражения
Воспользуемся правилом
Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7
Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 2²× 2², а две семёрки как 7²
Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:
Квадратный корень из дроби
Квадратный корень вида равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b
Например, квадратный корень из дроби  равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9
Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:
Значит, квадратный корень из дроби равен .
Докáжем, что равенство является верным.
Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно:
Пример 1. Извлечь квадратный корень
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 2. Извлечь квадратный корень
Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 3. Извлечь квадратный корень
Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.
Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:
Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 4. Найти значение выражения
Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:
Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:
В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.
Пример 5. Найти значение выражения
Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4
Пример 6. Найти значение выражения
Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,6²= 0,36
Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:
Вынесение множителя из-под знака корня
В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.
Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:
В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение оставим без изменений:
Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.
На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:
Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:
Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:
Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:
Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:
Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:
Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:
Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:
Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:
Пример 6. Упростить выражение
Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде
Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня:
Во втором слагаемом перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:
Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Вычислим содержимое скобок, полýчим −1
Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3
Внесение множителя под знак корня
Рассмотрим следующее выражение:
В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.
Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.
Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15
Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.
Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:
Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:
Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении
Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:
Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении
Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:
Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении
Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида не имеет смысла.
Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.
Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении
В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:
Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:
Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)² = a²+ 2ab + b²
Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:
Теперь необходимо упростить получившееся выражение.
Для выражений и применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.
А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:
Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:

Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 2. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 3. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 6. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 7. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 8. Найдите значения следующих выражений:
Решение:
Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624
Решение:
Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025
Решение:
Задание 11. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 12. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 13. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 14. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 15. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 16. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 17. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 18. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 19. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 20. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 21. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 22. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 23. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 24. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 25. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 26. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 27. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 28. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 29. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 30. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 31. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 32. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 33. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 45. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 46. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 47. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 48. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 49. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 51. Упростить выражение:
Решение:
Задание 52. Упростить выражение:
Решение:
Задание 53. Упростить выражение:
Решение:
Задание 54. Упростить выражение:
Решение:
Задание 55. Упростить выражение:
Решение:
Задание 56. Упростить выражение:
Решение:
Задание 57. Упростить выражение:
Решение:
Задание 58. Упростить выражение:
Решение:
Задание 59. Упростить выражение:
Решение:
Задание 60. Упростить выражение:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5 › Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты, сравнения и китайская теорема об остатках › Корни в системе остаточных классов. Квадратный корень по модулю (функции SqrtMod и SqrtModList). [страница — 151] | Самоучители по математическим пакетам
Корни в системе остаточных классов. Квадратный корень по модулю (функции SqrtMod и SqrtModList).
Задача о корзинке с яйцами представляет собой задачу о решении системы сравнений вида u=u_i(modm_i) с попарно взаимно простыми модулями mt. Конечно, она допускает дальнейшие обобщения. Если не считать линейных сравнений и их систем, то наиболее простой из таких задач окажется задача об извлечении квадратного корня в системе остаточных классов, т.е. задача о решении сравнения хr = d (modn).
Конечно, квадратных корней в системе остаточных классов – решений сравнения х =d (mod n) – может быть более одного. Поэтому в системе Mathematica предусмотрено две функции для нахождения таких решений. Функция SqrtMod находит наименьший вычет, а функция SqrtModList – Список всех вычетов.64+57]
{0.016
Second, 876504467496681643735926111996546100401033611976777074909122865 }
Функция SqrtMod может вычислять квадратные корни не только по простому модулю, но и по составному.
Однако не всегда такие вычисления происходят мгновенно. Для вычисления квадратного корня приходится разлагать модуль на множители, и потому для очень больших составных модулей функция SqrtMod далеко не всегда дает результат.
Функция КОРЕНЬ
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает положительное значение квадратного корня.

Синтаксис

КОРЕНЬ(число)

Аргументы функции КОРЕНЬ описаны ниже.

Замечание

Если число отрицательное, то SQRT возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

-16

Формула

Описание

Результат

=КОРЕНЬ(16)

Квадратный корень числа 16.

4

=КОРЕНЬ(A2)

Квадратный корень -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.

#ЧИСЛО!

=КОРЕНЬ(ABS(A2))

Старайтесь не #NUM! сообщение об ошибке: сначала с помощью функции ABS можно найти абсолютное значение -16, а затем найти квадратный корень.

4

Квадратный корень — это… Что такое Квадратный корень?
Квадра́тный ко́рень из (корень 2-й степени) — это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.
Применение операции корня к числам
Квадратный корень из числа — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной .^[1]^[2] Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.
Рациональные числа
Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.
Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от ^[3]^[4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.
Действительные числа
При натуральных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.
Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.^[5]
Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .^[6]
Комплексные числа
Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:
Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если
,
то (см. Формула Муавра)
,
где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.
Квадратный корень как элементарная функция
Вещественный анализ
График функции
Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.^[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.
Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в начале координат.
Обобщения
Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц^[8], функций^[9], операторов^[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.
В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .
Квадратный корень в элементарной геометрии
Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[11]
Квадратный корень в информатике
Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).
Алгоритмы нахождения квадратного корня
Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.
Разложение в ряд Тейлора
при .
Арифметическое извлечение квадратного корня
Для квадратов чисел верны следующие равенства:
и так далее.
То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:
Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
Грубая оценка
Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:
Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем
Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем
Два и шесть используются потому, что и
При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).
Геометрическое извлечение квадратного корня
В частности, если , а , то ^[12]
Итерационный аналитический алгоритм
Основная статья: Итерационная формула Герона
тогда
Столбиком
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.
Записать число (в примере — 69696) на листке.
Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа , то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.
Наглядное описание алгоритма:
См. также
Примечания
↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ()… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148
Ссылки
Корень, Арифметический корень
Давайте возьмем число 9. Девять делится на 3 и результат равен делителю 3 => 9/3 = 3, то есть 3.3 = 9 или 3² = 9.Давайте возьмем другое число, например 27, 27 = 3.3.3 = 3³. Таким образом мы обнаружили, что 9 и 27 на самом деле являются числом 3 со степенью 2 и 3.
В общем, арифметический корень (далее — корень) это функция, находящая делитель числа, который, будучи возведенным в степень корня, дает нам в результате снова это число. Иногда, этот делитель не является рациональным числом. В принципе корень — это обратная функция возведения в степень. Но даже может быть записан с помощью степени. Так, в нашем случае квадратный корень из 9 есть 3, √9 и кубический корень 27 есть 3 = ³√27
Если a есть положительным действительным числом, тогда уравнение x² = a имеет две решения: x = +√a or x = -√a.
$\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$
Если a есть действительным числом, тогда уравнение x³ = a имеет только одно решение => x = ³√a.\frac{1}{m\cdot n}$, или $\sqrt[n\cdot m]{a}$
$\sqrt[2n]{x} \ge 0$ n — натуральное число (если x ≥ 0)
Однообразие арифметического корня
Если 0 ≤ x ⁿ√x ⁿ√y
Функция квадратного корня
Функция кубического корня
Больше об арифметических корнях на страницах математического форума
GMAT Math: Как разделить на квадратный корень
Многие студенты, готовящиеся к GMAT Quant, особенно те, кто давно не занимается математикой, теряются, пытаясь разделить на квадратный корень. Однако деление на квадратный корень не должно вас пугать. Пройдя короткий курс повышения квалификации, вы быстро научитесь делить на квадратный корень.
Практические вопросы: как разделить на квадратный корень
Сначала рассмотрите эти три практических вопроса.
1. В приведенном выше уравнении x =
2. Треугольник ABC — это равносторонний треугольник с высотой 6. Какова его площадь?
3. В приведенном выше уравнении x =
Во втором случае добавляется небольшая геометрия. Вы можете просмотреть свойства треугольника 30-60-90 и равностороннего треугольника, если они вам незнакомы. Первый — это простая арифметика.Третий довольно сложный. Для любого из них вполне может случиться так, что, даже если вы выполнили все операции умножения и деления правильно, вы получили ответы в форме — что-то, деленное на квадратный корень из чего-то, — и у вас остается вопрос: почему это не так? Может ли этот ответ вообще появиться среди вариантов ответа? Если это вас сбило с толку, значит, вы нашли именно тот пост.
Дроби и радикалы
Когда мы впервые встретились с дробями, в нежной предубертости, и числители, и знаменатели были хорошими простыми положительными целыми числами.Как мы теперь понимаем, любое действительное число, любое число во всей числовой строке, может появиться в числителе или знаменателе дроби. Среди прочего, радикалы, то есть выражения квадратного корня, могут появляться как в числителе, так и в знаменателе. Нет особой проблемы, если в числителе используется квадратный корень. Например,
— это очень хорошая дробь. Фактически, те из вас, кто когда-либо занимался тригонометрией, могут даже узнать эту особую дробь. Предположим, однако, что в знаменателе есть квадратный корень: что тогда? Возьмем величину, обратную этой дроби.
Это уже не совсем хорошая дробь. Математически это дробь «безвкусицы», потому что мы делим на квадратный корень. Эта фракция требует какого-то упрощения. Как это упростить?
Работа с квадратными корнями в знаменателе
Согласно стандартным математическим соглашениям, принятым в GMAT, мы не оставляем квадратные корни в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби появляется квадратный корень, мы следуем процедуре, называемой , рационализируя знаменатель .
Мы знаем, что умножение квадратного корня на себя равно положительному целому числу. Таким образом, если мы умножим знаменатель квадратного корня из 3 на себя, получится 3, а не радикал. Проблема в том, что мы не можем обойтись без умножения знаменателя дробей на что-либо, оставив числитель в покое, и ожидать, что дробь сохранит свое значение. НО, помните проверенный временем трюк с дробями — мы всегда можем умножить дробь на A / A, на что-то над собой, потому что новая дробь будет равна 1, а умножение на 1 ничего не меняет.
Таким образом, чтобы упростить дробь с квадратным корнем из 3 в знаменателе, мы умножаем квадратный корень из 3 на квадратный корень из 3!
Это последнее выражение численно равно первому выражению, но, в отличие от первого, теперь оно математически «хорошего вкуса», потому что в знаменателе нет квадратного корня. Знаменатель был рационализирован (то есть дробь теперь является рациональным числом).
Иногда между числом в исходном числителе и целым числом происходит сокращение, которое является результатом рационализации знаменателя.Рассмотрим следующий пример:
Этот шаблон отмены в процессе упрощения может дать вам некоторое представление о практической проблеме № 1, описанной выше.
Квадратные корни и сложение в знаменателе
Это следующий уровень сложности, когда дело доходит до деления на квадратные корни. Предположим, мы делим число на выражение, которое включает добавление или вычитание квадратного корня. Например, рассмотрим эту дробь:
Это дробь, требующая рационализации.НО, если мы просто умножим знаменатель на себя, это НЕ БУДЕТ устранять квадратный корень — скорее, это просто создаст более сложное выражение, включающее квадратный корень. Вместо этого мы используем формулу разности двух квадратов:
= (a + b) (a — b). Факторы формы (a + b) и (a — b) называются конъюгатами друг друга. Когда в знаменателе есть (число + квадратный корень), мы создаем сопряжение знаменателя, меняя знак сложения на знак вычитания, а затем умножаем числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя .В приведенном выше примере знаменатель равен трем минус квадратный корень из двух. Сопряжение знаменателя будет равно трем плюс , квадратному корню из двух. Чтобы рационализировать знаменатель, мы умножаем числитель и знаменатель на это сопряжение.
Обратите внимание, что умножение в знаменателе привело к упрощению «разности двух квадратов», которое вычистило квадратные корни из знаменателя. Этот последний термин представляет собой полностью рационализированную и полностью упрощенную версию оригинала.
Резюме
Прочитав эти сообщения о делении на квадратный корень, вы можете еще раз попытаться ответить на три практических вопроса в верхней части этой статьи, прежде чем читать пояснения ниже. Если у вас есть какие-либо вопросы о делении квадратным корнем или пояснениях ниже, задавайте их в разделах комментариев! И удачи вам с их победой во время GMAT!
Объяснение практических вопросов
1) Чтобы найти x, мы начнем с перекрестного умножения.Обратите внимание на
, потому что, как правило, мы можем умножать и делить через радикалы.
Перекрестное умножение дает
Вы, возможно, нашли это и задались вопросом, почему он не указан в качестве ответа. Это численно равно правильному ответу, но, конечно, как объясняется в этом посте, эта форма не рационализирована. Нам нужно рационализировать знаменатель.
Ответ = (D)
2) Мы знаем высоту ABC и нам нужно найти основание.Итак, высота BD делит треугольник ABC на два треугольника 30-60-90. Из пропорций в треугольнике 30-60-90 мы знаем:
Итак, я предпочитаю сразу же рационализировать знаменатель.
Теперь AB упрощен. Мы знаем, что AB = AC, потому что ABC равносторонняя, поэтому у нас есть база.
Ответ = (C)
3) Начнем с деления на выражение в скобках, чтобы выделить x.
Конечно, эта форма не появляется среди вариантов ответа.Опять же, нам нужно рационализировать знаменатель, и этот случай немного сложнее, потому что у нас есть сложение в знаменателе вместе с квадратным корнем. Здесь нам нужно найти сопряжение знаменателя, заменив знак плюса на знак минус, а затем умножить числитель и знаменатель на это сопряжение. В результате получится:
Ответ = (A)
Готовы получить отличный результат GMAT? Начните здесь.
Самые популярные ресурсы
Майк работал экспертом по GMAT в Magoosh, помогая создавать сотни видеоуроков и практических вопросов, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха.Он также был отмечен как «участник месяца» более двух лет в клубе GMAT. Майк имеет степень бакалавра гуманитарных наук. по физике (выпуск с отличием ) и M.T.S. в «Религиях мира», оба из Гарварда. Помимо стандартизированного тестирования, у Майка более 20 лет опыта преподавания как в частных, так и в государственных школах, специализирующихся на математике и физике. В свободное время Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидной черепно-мозговой недостаточности, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс.Узнайте больше о GMAT из видеообъяснений Майка на YouTube и из таких ресурсов, как «Каков хороший результат GMAT?» и диагностический тест GMAT.
Посмотреть все сообщения
Деление комплексных чисел — концепция
Дроби с отрицательными корнями в знаменателе или с i в знаменателе должны быть рационализированы (поскольку i представляет собой квадратный корень). Когда делит комплексные числа с отрицательными корнями, упростите с точки зрения мнимых чисел, а затем умножьте числитель и знаменатель на i.Когда в знаменателе стоит бином, перепишите, используя i, а затем умножьте числитель и знаменатель на сопряжение.
Деление на комплексное число или число, содержащее i. Поэтому всякий раз, когда мы делим на число, которое включает i, нам нужно рационализировать знаменатель. Помните, что i равно квадратному корню из -1, и нам не разрешается использовать квадратные корни в знаменателе, поэтому мы должны избавиться от него.Хорошо. Итак, мы собираемся вернуться к проблеме, которую мы уже знаем, как решить. 6 над корнем 8. Поэтому всякий раз, когда мы сталкиваемся с подобной проблемой, мы должны рационализировать знаменатель. Избавьтесь от квадратного корня. Так что есть два способа сделать это. Вы можете умножить корень 8 на корень 8 и избавиться от него, или я предпочитаю иметь дело с меньшими числами, поэтому, если можно, я сначала попытаюсь упростить этот знаменатель.
Я знаю, что 8 — это то же самое, что 4 умножить на 2. Давайте сделаем другой цвет, чтобы мы его увидели.На самом деле это действительно равно 6 вместо 2 корня 2. Итак, теперь вместо умножения на корень 8 мне все еще нужно избавиться от корня, но вместо этого я могу умножить на корень 2. Итак, мы умножаем на корень 2, а затем на [IB], чтобы получить квадратный корень и возвести в квадрат 2 сверху. Хорошо.
Прежде чем я умножу это, я вижу, что могу это упростить. У нас 6 больше 2. Это отменит, оставив мне 3. Хорошо? Итак, теперь у нас есть 3 корня 2 в числителе, а затем у нас есть 2 исчезнувших.Итак, у нас корень 2 больше, чем корень 2. Квадратный корень. Когда вы умножаете их вместе, они просто компенсируют друг друга, оставляя нас с тем, что внутри — 2. Итак, в итоге мы получили 3 корня 2 больше 2. Хорошо?
Такая же точная идея, когда мы имеем дело с мнимыми числами, числами, включающими i. Итак, здесь 5 больше квадратного корня из 9. Первое, что я хочу сделать, — это радикально упростить знаменатель, хорошо? Это квадратный корень из 9, равный 3. Значит, в знаменателе будет 3i. Хорошо? Итак, переписав это, мы получим 5 вместо 3i.Число 3 не представляет проблемы, поэтому мы можем оставить его таким, но на самом деле мы хотим избавиться от этого i. Помните, что i умножить на i, я возведу в квадрат -1. Итак, если мы умножим это на i в знаменателе, мы получим i в квадрате, -1. Наш квадратный корень исчез. Мы должны умножить на 1, поэтому нам также нужен i наверху. Упростив это, мы получили 5i в числителе и 3i в квадрате в знаменателе. я возведу в квадрат, -1 так что это просто становится -5i больше 3, хорошо?
Так же, как мы поступили с нормальными радикалами, всякий раз, когда мы имеем дело с радикалом негативного, нам все равно нужно от него избавляться.Я считаю, что лучше всего упростить свои числа, чтобы иметь дело с более мелкими вещами. Но главная проблема состоит в том, чтобы избавиться от квадратного корня в знаменателе.
Решение квадратных корней — упрощение, сложение, вычитание, умножение и деление
Упрощение квадратного корня
Первый шаг к решению квадратных корней — это умение их упростить. Например, если вам дан квадратный корень √4, вы можете думать об этом как о «числе, которое в квадрате (или само число) равно четырем.»Правильным ответом будет 2, потому что когда 2 возведено в квадрат, это равно 2 X 2 = 4. Узнайте, как выполнять основные операции с извлечением квадратного корня [/ caption] Но что, если число под знаком квадратного корня не является точным квадратом? В этом случае вам нужно будет это учесть. Итак, если вам дается задача √12, вы должны разложить ее на множители, чтобы получить √ (2 X 2 X 3) или √ (4 X 3). Затем просто выньте √4 и напишите вместо него «2», оставив только «3» под знаком квадратного корня.У вас останется 2√3.
Сложение и вычитание квадратного корня
Вы не поверите, но складывать и вычитать квадратные корни или другие иррациональные числа очень просто. Просто рассматривайте квадратный корень как переменную, например «x» или «y». Например, если вы складываете 2√2 и 3√2, представьте, что вы складываете 2x и 3x: 2√2 + 3√2 = 5√2 Сделайте то же самое для вычитания: 3√2 — 2√2 = 1√2 = √2
Умножение
Следующий шаг — научиться умножать квадратные корни.Чтобы умножить квадратный корень, не забудьте отделить числа вне знака квадратного корня от чисел внутри знака квадратного корня. Например, чтобы решить задачу 2√2 X 3√8, вы должны сначала умножить 2 и 3, чтобы получить 6, а затем умножить числа внутри квадратного корня и упростить ответ. Итак, задача будет выглядеть так: 2√2 X 3√8 = (2X3) √ (2X8) = 6√16 = 6X4 = 24
Деление на квадратные корни
Деление на квадратный корень становится немного сложнее.Иногда можно просто сократить знаменатель или упростить его. Например, если вам задали задачу √8 / √2, вы можете разделить числитель и знаменатель на √2, что даст вам √4 / 1 или 2. Итак, задача будет выглядеть так: √8 / √2 = √ (8/2) / √ (2/2) = √4 / 1 = √4 = 2 Вы также можете встретить более сложное различие, например √2 / √3. Как это можно упростить? Помните одно простое правило: знаменатель никогда не может быть радикалом (квадратным корнем). Чтобы получить квадратный корень из знаменателя, умножьте числитель и знаменатель на этот квадратный корень.Например, в задаче √2 / √3 вы должны умножить верхнюю и нижнюю часть на √3. Результат будет выглядеть так: √2 / √3 = √2 / √3 X √3 / √3 = √ (2X3) / √ (3X3) = (√6) / 3 И это ваш окончательный ответ.
Примеры проблем
Не уверены, что поняли? Попробуйте воспользоваться следующими примерами задач с квадратным корнем:
√16 =?
√27 =?
2√24 =?
2√2 + 3√2 — 4√2 =?
4√2 X √2 =?
√2 X 3√15 X √3 =?
√27 / √3 =?
2√3 / √2 =?
3√2 / √3 =?
(5√3) / (3√5) =?
Ресурсы
Вот несколько дополнительных ресурсов, которые вы можете использовать, чтобы узнать больше о решении квадратных корней — Purple Math.«Квадратные корни». Sparknotes. «Показатели». Домашняя математика. «Как вычислить квадратный корень без калькулятора». Изображение Clker-Free-Vector-Images с сайта Pixabay
Этот пост является частью серии: Math Study Guides
Запутались в математике? Эти руководства по математике охватывают различные темы, от квадратных корней до неправильных дробей.
Добавление иррациональных чисел: пошаговое руководство
Два метода сложения смешанных фракций — с примерами
Этапы разделения смешанных фракций с примерами и ресурсами
Узнайте, как решать математические задачи с квадратным корнем: примеры и ресурсы
Операции с квадратными корнями
Операции с квадратными корнями
Вы можете выполнять ряд различных операций с квадратными корнями.Некоторые из этих операций включают один радикальный знак, в то время как другие могут включать множество радикальных знаков. Следует внимательно изучить правила, регулирующие эти операции.
Под одинарным знаком корня
Операции можно выполнять под одинарным знаком корня .
Пример 1
Выполните указанную операцию.
При схожести радикальных ценностей
Вы можете складывать или вычитать квадратные корни, только если значения под знаком корня равны. Затем просто сложите или вычтите коэффициенты (числа перед знаком корня) и сохраните исходное число в знаке корня.
Пример 2
Выполните указанную операцию.
Обратите внимание, что коэффициент 1 понимается в.
Когда радикальные значения разные
Вы не можете складывать или вычитать разные квадратные корни.
Пример 3
Сложение и вычитание квадратных корней после упрощения
Иногда после упрощения квадратного корня (ов) становится возможным сложение или вычитание.По возможности всегда упрощайте.
Пример 4
Упростить и добавить.
Не могут быть добавлены, пока не будет упрощено.
Теперь, поскольку под знаком корня оба похожи,
Попытайтесь упростить каждое из них.
Теперь, поскольку под знаком корня оба похожи,
Продукты неотрицательных корней
Помните, что при умножении корней знак умножения можно опустить.По возможности всегда упрощайте ответ.
Пример 5
Умножить.
Если каждая переменная неотрицательна,
Если каждая переменная неотрицательна,
Если каждая переменная неотрицательна,
Частные неотрицательных корней
Для всех положительных чисел
В следующих примерах предполагается, что все переменные положительны.
Пример 6
Разделить. Оставьте все дроби с рациональными знаменателями.
Обратите внимание, что знаменатель этой дроби в части (d) является иррациональным. Чтобы рационализировать знаменатель этой дроби, умножьте его на 1 в виде
.
Пример 7
Разделить. Оставьте все дроби с рациональными знаменателями.
Первое упрощение:
или
Примечание: Чтобы оставить рациональный член в знаменателе, необходимо умножить числитель и знаменатель на , сопряженное с знаменателя. Сопряжение двучлена содержит те же члены, но с противоположным знаком. Таким образом, ( x + y ) и ( x — y ) являются конъюгатами.
Пример 8
Разделить. Оставьте дробь с рациональным знаменателем.
Умножение и деление квадратного корня, рационализация знаменателя
Квадратные корни
Умножение и деление
В какой-то момент квадрат корни больше не следует рассматривать как операцию, а, скорее, как наиболее эффективную способ выразить число. Например, лучший способ записать сто триллионов — 1 × 1014MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGymaiabgE na0kaaigdacaaIWaWaaWbaaSqabeaacaaIXaGaaGinaaaaaaa @ 3BE4 @ .Лучший способ чтобы выразить само число раз, то есть два, это как 2.MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca aIYaaaleqaaOGaaiOlaaaa @ 378A @
Это дает понимание когда мы рассматриваем умножение рационального числа и иррационального числа вместе.Некоторых это не смущает иррациональные числа, такие как π. Никто запутал 3π, потому что мы понимаем, что символ — лучший способ написать количество. Нет другого способа переписать числа, кратные π, кроме как записать несколько впереди.
Однако 32MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaG4mamaaka aabaGaaGOmaaWcbeaaaaa @ 378B @ часто записывается как 6MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca aI2aaaleqaaaaa @ 36D2 @ .Есть причины, объясненные порядком действий, которые говорят нам, почему это неверно, но понимание того, что такое квадратный корень из двух, возможно, предлагает самый простой в поле зрения.
2≈1,414MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca aIYaaaleqaaOGaeyisISRaaGymaiaac6cacaaI0aGaaGymaiaaisda ааа @ 3C2D @
32 = 2 + 2 + 2MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaG4mamaaka aabaGaaGOmaaWcbeaakiabg2da9maakaaabaGaaGOmaaWcbeaakiab gUcaRmaakaaabaGaaGOmaaWcbeaakiabgUcaRmaakaaabaGaaGOmaa Wcbeaaaaa @ 3CF8 @
32≈1.414 + 1.414 + 1.414MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaG4mamaaka aabaGaaGOmaaWcbeaakiabgIKi7kaaigdacaGGUaGaaGinaiaaigda caaI0aGaey4kaSIaaGymaiaac6cacaaI0aGaaGymaiaaisdacqGHRa WkcaaIXaGaaiOlaiaaisdacaaIXaGaaGinaaaa @ 45F6 @
4.242
Квадратный корень из шести приблизительно равен 2,449. Совсем не одно и то же.
Однако верно следующее:
2 × 3 = 6MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca aIYaaaleqaaOGaey41aq7aaOaaaeaacaaIZaaaleqaaOGaeyypa0Za aOaaaeaacaaI2aaaleqaaaaa @ 3BB2 @
и
2 × 3 = 6MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca aIYaGaey41aqRaaG4maaWcbeaakiabg2da9maakaaabaGaaGOnaaWc beaaaaa @ 3B8C @ .
Следующие можно использовать обобщение. Иногда это лучше всего писать так, а не иначе, и решать вам если переписывание выражения предлагает понимание.
ab = a⋅bMathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca WGHbGaamOyaaWcbeaakiabg2da9maakaaabaGaamyyaaWcbeaakiab gwSixpaakaaabaGaamOyaaWcbeaaaaa @ 3D46 @
Если два числа — оба квадратные корни, вы можете перемножить их подкоренные выражения.Но ты не можешь размножаться подкоренное выражение квадратного корня с рациональным числом, как мы видели выше.
Дивизия немного больше с нюансами, но только тогда, когда ваш знаменатель — дробь.
Это обобщение верно для деления:
ab = abMathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaada WcaaqaaiaadggaaeaacaWGIbaaaaWcbeaakiabg2da9maalaaabaWa aOaaaeaacaWGHbaaleqaaaGcbaWaaOaaaeaacaWGIbaaleqaaaaaaa а @ 3B1C @
Например:
84 = 2.MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaada GcaaqaaiaaiIdaaSqabaaakeaadaGcaaqaaiaaisdaaSqabaaaaOGa eyypa0ZaaOaaaeaacaaIYaaaleqaaOGaaiOlaaaa @ 3A6A @
Это можно рассчитать двумя способами.
84 = 84 = 2.MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaada GcaaqaaiaaiIdaaSqabaaakeaadaGcaaqaaiaaisdaaSqabaaaaOGa eyypa0ZaaOaaaeaadaWcaaqaaiaaiIdaaeaacaaI0aaaaaWcbeaaki abg2da9maakaaabaGaaGOmaaWcbeaakiaac6caaaa @ 3D25 @
или
84 = 222 = 2.MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaada GcaaqaaiaaiIdaaSqabaaakeaadaGcaaqaaiaaisdaaSqabaaaaOGa eyypa0ZaaSaaaeaacaaIYaWaaOaaaeaacaaIYaaaleqaaaGcbaGaaG OmaaaacqGH9aqpdaGcaaqaaiaaikdaaSqabaGccaGGUaaaaa @ 3DD9 @
Но нельзя делить рациональные числа в подкоренное выражение или подкоренное выражение квадратного корня в подкоренное выражение. Рациональное число.Помните, квадратные корни, в упрощенном виде являются наиболее эффективным способом записи иррациональных чисел. Если бы мы использовали k для представления квадратного корня из двух, эти типы сбивали с толку ничего бы не случилось.

Никто не спутает происходящее с 6kMathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca aI2aaabaGaam4Aaaaaaaa @ 37B7 @ .Мы просто не могу оценить это, потому что 6 и k не имеют общих факторов. Когда k записывается как квадратный корень из двух, иногда люди просто видят 2 и уменьшают.
Единственная проблема с деление квадратного корня происходит, если вы получаете квадратный корень в знаменатель.
52MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca aI1aaabaWaaOaaaeaacaaIYaaaleqaaaaaaaa @ 379D @
Знаменатели должны быть рационально, а квадратный корень из двух иррационально.Однако есть простой исправить. Помните, что 2 × 2 = 4, MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca aIYaaaleqaaOGaey41aq7aaOaaaeaacaaIYaaaleqaaOGaeyypa0Za aOaaaeaacaaI0aaaleqaaOGaaiilaaaa @ 3C69 @ и 4 = 2.MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca aI0aaaleqaaOGaeyypa0JaaGOmaiaac6caaaa @ 394E @ Это тоже правда что:
22 = 1MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaada GcaaqaaiaaikdaaSqabaaakeaadaGcaaqaaiaaikdaaSqabaaaaOGa eyypa0JaaGymaaaa @ 398A @ .
— Рационализировать знаменатель, , что означает сделать знаменатель равным рациональное число, просто умножаем следующим образом:
52⋅22 = 522MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca aI1aaabaWaaOaaaeaacaaIYaaaleqaaaaakiabgwSixpaalaaabaWa aOaaaeaacaaIYaaaleqaaaGcbaWaaOaaaeaacaaIYaaaleqaaaaaki abg2da9maalaaabaGaaGynamaakaaabaGaaGOmaaWcbeaaaOqaaiaa ikdaaaaaaa @ 3F35 @
Иногда мы получаем примерно так:
532MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca aI1aaabaGaaG4mamaakaaabaGaaGOmaaWcbeaaaaaaaa @ 385A @
Трое — рациональное число и совершенно нормально в знаменателе.Если умножить на дробь 3232, MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca aIZaWaaOaaaeaacaaIYaaaleqaaaGcbaGaaG4mamaakaaabaGaaGOm aaWcbeaaaaGccaGGSaaaaa @ 39F3 @ ты все еще можешь получить упрощенный эквивалент, но вам нужно будет сделать дополнительные сокращения на конец.Вместо этого просто умножьте на иррациональная часть.
532⋅22 = 526MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca aI1aaabaGaaG4mamaakaaabaGaaGOmaaWcbeaaaaGccqGHflY1daWc aaqaamaakaaabaGaaGOmaaWcbeaaaOqaamaakaaabaGaaGOmaaWcbe aaaaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaiwdadaGcaaqaaiaaikdaaSqabaaa keaacaaI2aaaaaaa @ 3FF6 @ .
Итак, чтобы разделить или умножить с квадратными корнями вы можете умножать или делить подкоренные выражения. Однако если вы умножаете или делите рациональные числа и квадратные корни, вы не можете комбинировать подкоренные выражения и рациональное число.
Практические задачи:
Выполните указанные операций:
1.(57) (314) 2. (15) (3) 3. 3284. 535. 38⋅26MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = x fr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaaIXa GaaiOlaiaaykW7caaMc8UaaGPaVpaabmaabaGaaGynamaakaaabaGa aG4naaWcbeaaaOGaayjkaiaawMcaamaabmaabaGaaG4mamaakaaaba GaaGymaiaaisdaaSqabaaakiaawIcacaGLPaaaaeaaeaaaeaacaaI YaGaaiOlaiaaykW7caaMc8 + aaeWaaeaadaGcaaqaaiaaigdacaaI1a aaleqaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaeWaaeaadaGcaaqaaiaaiodaaSqa baaakiaawIcacaGLPaaaaeaaaeaaaeaacaaIZaGaaiOlaiaaykW7ca aMc8 + aaSaaaeaacaaIZaWaaOaaaeaacaaIYaaaleqaaaGcbaWaaOaa aeaacaaI4aaaleqaaaaaaOqaaaqaaaqaaiaaisdacaGGUaGaaGPaVl aaykW7caaMc8 + aaSaaaeaadaGcaaqaaiaaiwdaaSqabaaakeaadaGc aaqaaiaaiodaaSqabaaaaaGcbaaabaaabaaabaGaaGynaiaac6caca aMc8UaaGPaVpaalaaabaGaaG4maaqaamaakaaabaGaaGioaaWcbeaa aaGccqGHflY1daWcaaqaamaakaaabaGaaGOmaaWcbeaaaOqaaiaaiA даааааааа @ 6678 @

Деление растений — Могу ли я разделить растение?
Разделение растений включает выкапывание растений и разделение их на две или более секции.Это обычная практика, которую проводят садоводы, чтобы сохранить растения здоровыми и создать дополнительный запас. Давайте посмотрим, как и когда делить растения.
Могу ли я разделить растение?
Не знаете, как ответить на вопрос: «Могу ли я разделить растение?» Поскольку деление растений включает расщепление или разделение кроны и корневого комка, его следует использовать только для растений, которые распространяются от центральной кроны и имеют привычку к комковатому росту.
Подходящими кандидатами для разделения являются многочисленные виды многолетних растений и луковиц.Однако растения с стержневыми корнями обычно размножают черенками или семенами, а не дроблением.
Когда делить садовые растения
Когда и как часто делят растение, зависит от типа растения и климата, в котором оно выращивается. Как правило, большинство заводов разделяют каждые три-пять лет или когда они становятся переполненными.
Большинство растений делятся ранней весной или осенью; однако некоторые растения, например лилейники, можно разделить в любое время.Обычно весной и летом цветущие растения разделяются осенью, а остальные — весной, но это не всегда так.
Есть также растения, которые плохо реагируют на нарушение их корней. Эти растения лучше всего разделять в спящем состоянии, чтобы уменьшить последствия шока.
Как разделить растения
Делить растения легко. Просто выкопайте весь комок, а затем аккуратно разделите коронку и корневой ком на две или более секции, в зависимости от размера комка.Иногда вы можете разделить садовые растения руками, как и в случае со многими видами луковиц, в то время как для деления растений часто необходимо использовать острый нож или садовую лопату.
После разделения растений стряхните излишки почвы и удалите мертвые наросты. Вы также можете обрезать растения перед повторной посадкой. Это помогает уменьшить шок, полученный при делении и пересадке. Пересадите части растения в аналогичное место или в другой горшок.
Почему работает алгоритм извлечения квадратного корня
Вы здесь: На главную → Статьи → Почему работает алгоритм извлечения квадратного корня
В этой статье объясняется, почему работает алгоритм извлечения квадратного корня.
Допустим, мы хотим найти квадратный корень из a . Каждый раз, когда алгоритм применяется, он находит еще одну цифру квадратного корня. Это означает, что мы приближаемся к действительному значению квадратного корня снизу; другими словами, что на каждом шаге приближение всегда меньше или равно действительному значению квадратного корня.
Если x — это приближение, найденное в определенной точке, в следующем раунде мы хотим найти лучшее приближение x + r , так что x + r ≤ √ a . Из этого неравенства следует:
x + r
≤
√ а
( x + r ) ²
≤
а
x ² + 2 xr + r ²
≤ а
x ² + (2 x + r ) r ≤ а
(2 x + r ) r
≤ a — x ²
Последняя строка соответствует шагу в алгоритме, на котором пользователь пробует разные значения r в пустой строке, так что 2 x и что-то умножить на что-то меньше, чем результат вычитания.
Пример:
Допустим, мы пытаемся найти √3150 с алгоритмом извлечения квадратного корня, который напоминает деление в столбик. На каждом этапе алгоритма мы используем пару цифр из числа и находим одну цифру для ответа. На каждом этапе мы получаем лучшее приближение к действительному квадратному корню.
На калькуляторе находим √3150 = 56,12 с точностью до двух знаков после запятой. Первый раунд применения алгоритма даст цифру 5, говорящую нам, что √3150 находится между 50 и 60.Во втором раунде мы найдем цифру 6, или, другими словами, мы узнаем, что √3150 находится между 56 и 57. В третьем раунде мы получим десятичную цифру 1, давая нам знать, что √3150 находится между 56,1 и 56,2 и так далее.
С этого момента мы сконцентрируемся на ОДНОМ раунде применения алгоритма. Допустим, мы уже нашли цифру 5 для квадратного корня и используем алгоритм, чтобы найти следующую цифру r . Обратите внимание, что r находится между 0 и 9, а цифра 5 означает, что √3150 50+ что-то.Можно сказать, что √3150 находится между 50 + r и следующим целым числом, которое составляет 50 + r + 1. Итак, мы знаем, что 50 + r ≤ √3150, и из этого следует, что
50 + р
≤
√3150
(50 + р ) ²
≤
3150
50 ² + 100 r + r ²
≤
3150
2500 + (100 + r ) r ≤
3150
(100 + r ) r
≤
3150–2500 = 650
Далее мы рассмотрим, как последняя строка (100 + r ) r ≤ 650 используется в алгоритме.
Сначала мы находим число, квадрат которого меньше или равно первой паре цифр: 5 ² меньше 31, поэтому 5 работает. Мы пишем, что над линией квадратного корня:
5
√31,50
Так продолжается алгоритм:
5
√ 31 .50
— 25
(10_) 6 50
5
√ 31 ,50
— 25
(10_) 6 50
Квадрат 5, дает 25, напишите, что под 31 и вычтите.Сбейте следующую пару цифр. Затем удвойте число над линией и запишите его в скобках, поставив рядом с ним пустую строку, как показано. Дальше подумайте, какое однозначное число что-то могло перейти на пустую строку так, чтобы сотня- что-то умножить на что-то быть меньше или равным 650.
105,5 = 525
106,6 = 636
107 · 7 = 749, так что 6 работает.
Давайте попробуем еще раз в следующем раунде. Теперь мы обнаружили, что √3150 — это между 56 и 57, и ищем следующую цифру q . Обратите внимание, что q находится между 0 и 9, а √3150 находится между 56 + q /10 и 56 + ( q + 1) / 10. Итак, мы знаем, что 56 + q /10 ≤ √3150, и из этого следует, что
56 + q /10
≤
√3150
560 + q
≤
10√3150
(560 + q ) ²
≤
100 х 3150
560 ² + 1120 q + q ²
≤
315000
313600 + (1120 + q ) q ≤
315000
(1120 + q ) q
≤
315000 — 313600 = 1400
Вы можете увидеть, как последняя строка (1120 + q ) q ≤ 1400 используется в алгоритме.
5
6
√ 31 ,50 . 00
— 25
(106) 6 50
— 6 36
14 00
5
6
√ 31 .50 . 00
— 25
(106) 6 50
— 6 36
(112_) 14 00
5
6
. 1
√ 31 ,50 . 00
— 25
(106) 6 50
— 6 36
(112_) 14 00
Вычислите 6 · 106, напишите, что ниже 650, вычесть, введите следующую пару цифр (в данном случае десятичные цифры 00). Затем удвойте число
над строкой и запишите его в скобках с пустой строкой рядом с ним как указано: Подумайте, что однозначное число что-то могло пойти на пустую строку так что одиннадцатьсот двадцать что-то
раз что-то будет меньше или равно 1400.
1121 · 1 = 1121
1122 · 2 = 2244, поэтому 1 работает.
В алгоритме вы не видите вычитание 315000 — 313600, а вместо него вычитание 650 — 636 (что соответствует 65000 — 63600). Это потому, что в предыдущем раунде вычитание 3150 — Было сделано 2500, что соответствует 315 000 — 250 000, что составляет разницу в 65 000.

См. Также:
Следует ли мне научить ребенка вычислять квадратные корни без калькулятора?
Кроме того, выучите алгоритм вычисления квадратных корней вручную.
No related posts.

Данные
-16
Формула	Описание	Результат
=КОРЕНЬ(16)	Квадратный корень числа 16.	4
=КОРЕНЬ(A2)	Квадратный корень -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.	#ЧИСЛО!
=КОРЕНЬ(ABS(A2))	Старайтесь не #NUM! сообщение об ошибке: сначала с помощью функции ABS можно найти абсолютное значение -16, а затем найти квадратный корень.	4

Последнее изменение: 02.12.2021

x + r	≤	√ а
( x + r ) ²	≤	а
x ² + 2 xr + r ²	≤	а
x ² + (2 x + r ) r	≤	а
(2 x + r ) r	≤	a — x ²

50 + р	≤	√3150
(50 + р ) ²	≤	3150
50 ² + 100 r + r ²	≤	3150
2500 + (100 + r ) r	≤	3150
(100 + r ) r	≤	3150–2500 = 650

56 + q /10	≤	√3150
560 + q	≤	10√3150
(560 + q ) ²	≤	100 х 3150
560 ² + 1120 q + q ²	≤	315000
313600 + (1120 + q ) q	≤	315000
(1120 + q ) q	≤	315000 — 313600 = 1400

Растениеводство в ЗАО «Бирюли» | Бирюли РТ — современное хозяйство

Деление корней. Деление подкоренных выражений. Примеры размножения делением корня

Метод 1 из 3: Умножение корней без множителей

Метод 3 из 3: Перемножение двучленов с квадратными корнями

Как делить корни?

Шаги

Деление подкоренных выражений

Разложение подкоренного выражения на множители

Деление квадратных корней с множителями

Что нужно знать при делении куста

Для чего применяется деление куста

24 разделить на корней из 7+1

OFF: Число ПИ разделить на корень из 3, или математика для 1С-ника

Основное правило умножения

Случай произвольного показателя

Умножение корней с разными показателями

Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры

Что такое квадратный корень

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Извлечение корней

Свойства арифметического квадратного корня

Умножение арифметических корней

Деление арифметических корней

Возведение арифметических корней в степень

Внесение множителя под знак корня

Вынесение множителя из-под знака корня

Сравнение квадратных корней

Извлечение квадратного корня из большого числа

Квадратный корень

Основные сведения

Определения

Примеры извлечения квадратных корней

Приближённое значение квадратного корня

Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Границы, в пределах которых располагаются корни

Тождественные преобразования с квадратными корнями

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из дроби

Вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня

Задания для самостоятельного решения

Навигация по записям

Корни в системе остаточных классов. Квадратный корень по модулю (функции SqrtMod и SqrtModList).

Функция КОРЕНЬ

Описание

Синтаксис

Замечание

Пример

Квадратный корень — это… Что такое Квадратный корень?

Применение операции корня к числам

Рациональные числа

Действительные числа

Комплексные числа

Квадратный корень как элементарная функция

Вещественный анализ

Обобщения

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратный корень в информатике

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Разложение в ряд Тейлора

Арифметическое извлечение квадратного корня

Грубая оценка

Геометрическое извлечение квадратного корня

Итерационный аналитический алгоритм

Столбиком

См. также

Примечания

Ссылки

Корень, Арифметический корень

Однообразие арифметического корня

Функция квадратного корня

Функция кубического корня

GMAT Math: Как разделить на квадратный корень

Практические вопросы: как разделить на квадратный корень

Дроби и радикалы

Работа с квадратными корнями в знаменателе

Квадратные корни и сложение в знаменателе

Резюме